Senin, 21 November 2011

Teorema Pythagoras

Diposting oleh Indah Aditiya Pratiwi di 02.00 0 komentar
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Animasi pembuktian teorema ini
Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM, Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India (dalam Sulbasutra Baudhayana dan Katyayana), Yunani, Tionghoa dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras lahir. Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.[1]
Ada dua bukti kontemporer yang bisa dianggap sebagai catatan tertua mengenai teorema Pythagoras: satu dapat ditemukan dalam Chou Pei Suan Ching (sekitar 500-200 SM), satunya lagi dalam buku Elemen Euklides.

Daftar isi

 [sembunyikan

Teorema

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa:
Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus.
Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku; kaki-nya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. Pada gambar di bawah ini, a dan b adalah kaki segitiga siku-siku dan c adalah hipotenus:
Pythagorean.svg
Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya goemetris, sebagai pernyataan tentang luas bujur sangkar:
Jumlah luas bujur sangkar biru dan merah sama dengan luas bujur sangkar ungu.
Akan halnya, Sulbasutra India juga menyatakan bahwa:
Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan sisi vertikal dan horisontalnya.
Menggunakan aljabar, kita dapat mengformulasikan ulang teorema tersebut ke dalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah bujur sangkar adalah pangkat dua dari panjang sisinya:
Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai kaki dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c, maka a2 + b2 = c2.
Pythagorean proof.png

Lihat pula

Ada ribuan bukti teorema Pythaghoras. Yang ini diciptakan oleh Leonardo da Vinci

Catatan kaki

Pranala luar


Sistem Pesamaan Linear dengan 2 Peubah

Diposting oleh Indah Aditiya Pratiwi di 00.52 0 komentar


A. Sistem Persamaan Linier dengan Dua Peubah

Persamaan linier dengan dua peubah (variabel) x dan y dapat dituliskan dalam bentuk

dengan a, b, dan c bilangan real.

Persamaan tersebut mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian dalam bentuk pasangan bilangan berurutan (x, y). sedangkan yang dimaksud dengan sistem persamaan dengan dua peubah, yang sering disingkat dengan sistem persamaan adalah pasangan persamaan linier:


dengan dalam R.

penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah pasangan berurutan yang memenuhi kedua pasangan tersebut.

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan

1. Metode Grafik
Salah satu metode penyelesaian sistem persamaan adalah dengan metode grafik yaitu dengan membaca (menaksir) titik potong kedua garis pada bidang Cartesius (jika memiliki titik potong).

2. Metode Substitusi

Jika penyelesaian sistem persamaan adalah pasangan bilangan berurutan yang relatif besar atau tidak memuat bilangan bulat, maka metode grafik tidak dapat digunakan dengan baik. Beberapa metode aljabar akan akurat jika digunakan untuk mencari penyelesaian dari persamaan dari semacam itu. Salah satu dari metode itu adalah metode substitusi.

Langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan metode substitusi adalah sebagai berikut:
a. Nyatakan salah satu persamaan dalam bentuk y = ax + b (atau x = my + n).
b. Substitusikan y (atau x) pada langkah pertama ke persamaan yang lain.
c. Selesaikan persamaan yang diperoleh untuk mendapatkan nilai atau
d. Substitusikan nilai atau ke salah satu persamaan linier untuk memperoleh nilai
e. Penyelesaiannya adalah atau

3. Metode Eliminasi
Menentukan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel dengan metode eliminasi sebenarnya lebih mengandalkan skema eliminasi (menghilangkan) salah satu variabelnya dilakukan dengan menyamakan koefisien salah satu variabelnya (x atau y) pada kedua persamaan kemudian kedua persamaan tersebut ditambahkan atau dikurangi sesuai kebutuhannya.
Penyelesaian dengan metode eliminasi menggunakan lengkah-langkah sebagai berikut.
a. Kalikan masing-masing persamaan dengan bilangan tertentu sehingga koefisien salah satu peubah (x atau y) pada kedua persamaan sama.
b. Jumlahkan atau kurangkan persamaan yang satu dengan yang lain sehingga salah satu peubah menjadi nol.
c. Setelah kita dapatkan sistem persamaan yang sederhana, tentukan nilai peubah tersebut.

4. Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi
Metode ini merupakan gabungan dari metode eliminasi untuk menemukan nilai dari variabel pertama dan metode substitusi untuk menemukan nilai variabel kedua. Langkah-langkah metode gabungan ini yaitu dengan metode eliminasi temukan nilai salah satu dari variabel x dan y dan substitusikan ke salah satu persamaan linier nilai x atau y yang telah diperoleh pada langkah pertama.

Kamis, 10 November 2011

Fungsi Kuadrat

Diposting oleh Indah Aditiya Pratiwi di 04.54 0 komentar
  • Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0
x variabel;  a,b,c konstanta ; a ¹ 0
Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.
Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara

  1. Memfaktorkan

    ax² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + p/a) = 0
    ®
    x1 = - p/a dan x2 = - q/a

    dengan p.q = a.c dan p + q = b

  2. Melengkapkan bentuk kuadrat
    persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
    (x + p)² = q² ® x + p = ± q
    x1 = q - p dan x2 = - q - p

  3. Rumus ABC
    ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± Ö(b²-4ac)]/2a

    bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga X1,2 = (-b ± ÖD)/2

  • Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan

  1. D > 0

    x1 = (-b+ÖD)/2a ; x2 = (-b-ÖD)/2a

    PK mempunyai dua akar nyata berbeda


  2. D = 0

    x1 = x2 = -b/2a

    PK mempunyai dua akar nyata yang sama

    tt

  3. D < 0

    Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.



  • Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.
Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:
X1 = (-b+ÖD)/2a dan X2 = (-b-ÖD)/2a
didapat hubungan
X1 + X2 = -b/a
 
 
X1.X2 = c/a
X1 - X2 = ÖD/a
 
 
 



  • Perluasan Untuk Akar-Akar Nyata

  1. Kedua akar nyata berlawanan

    Maksudnya : X1 = -X2

    syarat :  D > 0
                 X1 + X2 = 0 ® b = 0

    Ket: X1 + X2 = 0 ® -b/a = 0 ® b = 0



  2. Kedua akar nyata      berkebalikan

    Maksudnya : X1 = 1/X2

    syarat : D ³ 0
                X1 . X2 = 1 ® a = c

    Ket: X1 . X2 = 1 ® c/a = 1 ® a = c


  3. Kedua akar nyata positif

    Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0

    syarat : D ³ 0
                X1 + X2 > 0
                X1 . X2 > 0



  4. Kedua akar nyata negatif

    maksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0

    syarat: D ³ 0
               X1 + X2 < 0
               X1 . X2 > 0



  5. Kedua akar nyata berlainan tanda

    Maksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0

    syarat : D > 0
                X1 . X2 < 0

    Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti


  6. Kedua akar rasional

    Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk Ö

    syarat : D = bentuk kuadrat
                D = (0,1,4,9,16,25...)

    Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda Ö
    , sehingga X1 dan X2 rasional

Rabu, 02 November 2011

Pemetaan atau Fungsi

Diposting oleh Indah Aditiya Pratiwi di 03.19 0 komentar

Relasi atau hubungan antara himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B dengan aturan tertentu.
Relasi  antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :
-         Dengan diagram panah
-         Dengan himpunan pasangan berurutan, dan
-         Dengan diagram kartesius.
Contoh :
Diketahui himpunan A = {3,4,5} dan B ={2,4}. Bila relasi dari A ke B adalah lebih dari , nyatakan relasi tersebut dengan :
a.          Diagram panah
b.          Himpunan pasangan berurutan
c.           Diagram kartesius
Penyelesaian :
a.          Diagram panah

b.          Himpunan pasangan berurutan
{(3,2),(4,2),(5,2),(5,4)}

c.           Diagram kartesius

Pemetaan atau Fungsi adalah suatu relasi tertentu antara himpunan A dan B yang memenuhi syarat bahwa setiap (semua) anggota himpunan A dipasangkan denga tepat satu anggota himpunan B. Tidak semua relasi merupakan sebuah fungsi atau pemetaan, hanya relasi tertentu yang memenuhi persyaratan tersebut diatas.
Ciri-ciri relasi yang merupakan pemetaan/fungsi :
1.          Pada diagram panah : semua anggota A mempunyai pasangan, dan tidak ada cabang relasi dari himpunan A.
Contoh pemetaan/fungsi :

Contoh bukan pemetaan/fungsi :

      
2.          Pada Himpunan pasangan berurutan : terdapat dua unsur himpunan A yg ditulis lebih dari satu kali.
Contoh pemetaan/fungsi :
{(a,1),(b,1),(c,2),(d,3)}
Contoh bukan pemetaan/fungsi :
{(a,1),(b,2),(b,3),(c,3)}
3.          Pada diagram kartesius : tidak ada dua titik segaris vertical.
Contoh pemetaan/fungsi :

Contoh bukan pemetaan/fungsi :


Notasi Pemetaan/Fungsi
Sebuah relasi dari himpunan A = {1,2,3} ke himpunan B = {2,3,4,5,6} dengan aturan “setengah dari” digambarkan dalam diagram panah :

Dari diagram panah di atas terdapat beberapa istilah yaitu :
-         {1,2,3,x } disebut Domain/Daerah asal
-         {2,3,4,5,6,2x } disebut Kodomain / Daerah kawan
-         {2,4,6,2x } disebut Range/daerah hasil

Setiap x anggota himpunan A dipasangkan/dipetakan dengan 2x anggota B, jika nama pemetaan/fungsi dari A ke B tersebut adalah f, maka notasi pemetaan/fungsi tersebut adalah “f : x à 2x “ dibaca “ f memetakan x ke 2x”. 2x disebut bayangan/peta dari x oleh fungsi f. Bayangan x oleh f dinyatakan dengan f(x), karena bayangan x oleh f adalah 2x maka f(x) = 2x. f(x) = 2x disebut rumus fungsi f.

Jika n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A dan n(B) adalah banyaknya anggota himpunan B maka banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah n(B)n(A)
 CONTOH SOAL :

1.          Diketahui A={2,3,5,7,9} dan B={1,6,12,18,49}. Sebuah relasi dari A ke B adalah factor dari. Nyatakan relasi tersebut dengan :
a.          Diagram panah.
b.          Himpunan pasangan berurutan.
c.           Diagram kartesius.

2.          Perhatikan gambar di bawah ini :

 Manakah diantara relasi-relasi tersebut di atas yang merupakan pemetaan/fungsi? Jelaskan alasanmu!

3.          Diketahui K={1,2,3,4} dan L={1,2,3,4,5}. Bila relasi dari K ke L adalah satu kuranganya dari
a.          Gambarkan relasi tersebut dalam diagram panah!
b.          Apakah relasi itu merupakan pemetaan/fungsi?
c.           Tentukan Domain, Kodomain, dan Range pada relasi tersebut!

4.          Diketahui P={2,3,5,7,9} dan Q={1,2,3,…,12} suatu pemetaan f dari P ke Q ditentukan dengan notasi f:x à x –1, x Î P
a.          Tuliskan rumus fungsi f.
b.          Tentukan bayangan dari 3 dan 7 menggunakan rumus itu.
c.           Tentukan anggota daerah asal yang bayangannya adalah 8 dan 10

5.          Diketahui fungsi g:x à3x – 4 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan :
a.          Bayangan 5 oleh g
b.          Nilai g untuk x = –2
c.           g(8) = …
d.          nilai x  jika g(x) = –7

 Penyelesaian :
 1.          Diketahui : A={2,3,5,7,9}
B={1,6,12,18,49}.
Relasi dari A ke B adalah factor dari
Ditanyakan :
a.          Diagram panah
b.          Himpunan pasangan berurutan
c.           Diagram kartesius
Jawab :
a.          Diagram panah :

b.          Himpunan pasangan berurutan :
{2,…),(2,…),(1,…),(3,…),(3,…),(3,…),(…,49)}
c.           Diagram kartesius :
2.          
          Diketahui : K={1,2,3,4} dan L={1,2,3,4,5}
Relasi dari K ke L : satu kurangnya dari
Ditanyakan :
a.          Diagram panah
b.          …
c.           Domain ={…,…,…,…}, Kodomain = {…,…,…, …,…}, Range = {…,…,…,…}
4.          Diketahui : P={2,3,5,7,9} dan Q={1,2,3,…,12}
f : x à x –1, x Î P
Ditanyakan :
a.          Rumus fungsi f.
b.          Bayangan dari 3 dan 7
c.           Anggota daerah asal yang bayangannya adalah 8 dan 10
Jawab :
a.          f(x) = …
b.          Bayangan 3 à f(3) = 3 – 1 = …
Bayangan 7 à f(7) = … – 1 = …
c.           f(x) = x – 1                f(x) = x – 1
8    = x – 1                 …   = x – 1
x      = .......                 x    = ……
5.          Diketahui : g:x à3x – 4 pada himpunan bilangan bulat.
Ditanyakan :
a.          Bayangan 5 oleh g
b.          Nilai g untuk x = –2
c.           g(8) = …
d.          nilai x  jika g(x) = –7
jawab :
a.          Rumus fungsi : g(x) = …
g(5) = … x … – … = …
b.          x = –2 à g(–2) = …x… – … = …
c.           g(8) = …x… – … = …
d.          g(x)     = 3x – …
…        = 3x – …
3x       = …  …
3x       = …..
x          = ….
 Soal Latihan 3
1.          Perhatikan gambar berikut :



a.          Nyatakan relasi dari A ke B dengan diagram panah!
b.          Sebutkan relasi yang mungkin dari A ke B
2.          Diketahui A={2,3,4,5} dan B={–2,–1,0}. Relasi g memasangkan setiap anggota A dengan setiap anggota B.
a.          Gambarkan diagram panah untuk relasi itu!
b.          Tentukan himpunan pasangan berurutan yang terjadi!
Catatan : himpunan pasangan berurutan yang terjadi pada soal no. 2 tersebut disebut “produk cartesius dari A dan B”, ditulis AxB
3.          Suatu fungsi f dari P ke Q didefinisikan f : x à x – 2, dengan P={3,5,7,9,11} dan Q = {1,2,3,… ,10}.
a.          Tentukan daerah hasil f!
b.          Nyatakan f dengan himpunan pasangan berurutan!
c.           Gambarlah grafik fungsi f!
4.          Diketahui fungsi g : x à2x – 3 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai dari :
a.          Bayangan 4 oleh g
b.          Nilai g untuk x = –2
c.           g(7)
d.          nilai a untuk g(a) = 3
5.          Perhatikan gambar berikut : 

 
a.          Tentukan rumus fungsi f
b.          f(a) = …
c.           jika c= –5, maka f(c) = …
d.          jika b = –36, maka a = …
LATIHAN ULANGAN BAB II
1.          Suatu himpunan pasangan berurutan dinyatakan sebagai : {(–2,0),(–1,1),(0,2),(1,3),(2,4)}. Relasi yg mungkin dari kedua himpunan tersebut adalah
a.          Kelipatan dari
b.          Factor dari
c.           Dua kurangnya dari
d.          Dua lebihnya dari
2.          Diantara himpunan pasangan berurutan berikut yang merupakan pemetaan adalah …
a.          {(1,2),(2,3),(1,4)}    
b.          {(2,5),(2,7),(2,9)}
c.           {(2,3),(3,3),(4,3)}
d.          {(3,6),(3,7),(4,7)}

 

INDAH ADITIYA PRATIWI blog's Copyright © 2011 Design by Ipietoon Blogger Template | web hosting