PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1. Persamaan lingkaran
   1. Defenisi

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang cartesius.Titik tertentu tersebut pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari-jari.

Beberapa formula menentukan jarak

1. Jarak antara dua titik A (X1, Y1) dan B (X2, Y2), ditentukan oleh

2. Jarak titik A (X1, Y1) terhadap garis lurus ax+by+c = 0 ditentukan oleh

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r
   Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh

Persamaan lingkaran dengan pusat 0 (0,0) dan jari-jari r ditentukan oleh

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0(0,0) dan jari-jari:

Jawaban: a. Pusat di 0(0, 0) dan r =4

b. Pusat di 0 (0,0) dan r =

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran (x-a)2+(y-b)2=r2 dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat a(a,b) dari jari-jari r.

Contoh:1. Tentukan persamaan setiap lingkaran berikut iniPusat (4, 3) dan jari-jari=6Jawaban: pusat (4, 3) dan r=6; r2= 36Persamaan lingkaran

(x-4)2+(y-3)2 = 36

2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut iniPusat A(5, -1) melalui titik P (-1, 7)Jawaban : pusat A (5, -1) dan melalui titik P(-1, 7)

Persamaan lingkaran

3. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut (x-1)2 + (y-2)2 = 25

Jawaban : Pusat A (1, 2) dan r = 5

Posisi suatu titik P (c, d) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2Posisi suatu titik P (c, d ) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2 dilakukan dengan mensubtitusikan p(c, d) keliling lingkaran tersebut dan membandingkan dengan nilai r2, kemungkinan posisi titik p (c, d ) sebagai berikut:

1. P (c, d ) didalam lingkaran L

2. P (c, d ) pada lingkaran L

3. P (c, d ) diluar lingkaran L

Contoh 01 :

Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi setiap titik berikut ini terhadap lingkaran yang disebut.a. P(1, 1) dan lingkaranJawaban;P(1, 1) danJadi titik P (1, 1) terlatakContoh 02:Tentukan batas-batas nilai a agar

a) P(-a, 1) terletak didalam lingkaran maka

1. BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN
   1. Menyatakan bentuk umum persamaan lingkaran
   Contoh: Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik A (3, 4) dan berjari-jari = 3
   Jawaban:

Jadi bentuk umum persamaan lingkarannya adalah x2+y2-6x-8y+16=0

2. Posisi suatu titik T (p, q) terhadap lingkaran

1) T(p, q) didalam lingkaran

2) T(p, q) pada lingakaran L

3) T(p, q) diluas lingkaran

Contoh : Tentukan nilai K agar titik N (k, 2) terletak di luar lingkaranJawaban: Kn > 0 = K2 + 22 + 4 K – 3.2 – 10 > 0= K2 + 4 K – 12 > 0= ( k + 6 ) ( K – 2 ) > 0= k < -6 atau K > 23. jarak titik A (x1, y1) terhadap lingkaran L yang berpusat di P (a, b) dengan jari-jari ri. Jika titik A (x1, y1) pada lingakaran L maka L (x1, y1) = 0 dan jarak nya = 0ii. Jika titik A (x1, y1) di dalam lingkaran L maka L (x1, y1)< ) dan- Jarak terdekat = AB di tentukan oleh AB = r – AP- Jarak terjauh = AC ditentukan oleh AC = AP + r dengan jarak AP = jarak titik A kepusat lingkaraniii. JIka titik A (x1, y1) di luar lingkaran L maka L (x1, y1) > 0 dan- Jarak terdekat = AB ditentukan Oleh AB = AP – r

- Jarak terjauh = AC = =

1. Kedudukan garis terhadap lingkaran
   Kedudukan garis G dengan persamaan y = mx + k terhadap lingkaran ditentukan berdasarkan diskriminasi D = b2 – 4 ac
   i. Bila D > 0 maka garis G memotong lingkaran L di dua titik berlainan
   ii. Bila D = 0 maka garis G menyinggung lingkaran
   iii. Bila D < 0 maka garis G tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L
   Contoh: Selidikilah kedudukan setiap garis dibawah ini dengan , dengan garis G; y=3x+2
   Jawaban: Hasil subsitusi 10×2 + 13 x +3 = 0
   Hasil test diskriminan D = 132 – 14 x 10 x 3
   = 169 – 120
   = 49 > 0
   Kesimpulan:
   Garis G: y = 3x +2 memotong lingkaran L didua titik berlainan.
2. Persamaan garis singgung lingkaran
   (1). Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran melalui titik singgung T (X1, Y1) pada lingkaran L
   a. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r
   X1X + Y1Y= r2
   Contoh:
   Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (1, -2)
   Jawaban:
   Persamaan garis singgung x-2y = 5 atau x – 2y – 5 = 0
   b. lingkaran L perpusat di A (a, b) dan berjari-jari r
   (x1 – a) (x – a) + (y1-b) ( y – b) = r2
   Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung A (-3, 1)
   Jawaban: Persamaan garis singgung
   ( -3 -1) (x – 1) + ( a – 4 )( y – 4 ) = 25
   -4 ( x – 1) -3 (y – 4) -25 = 0
   -4x + 4 -3x + 12 – 25 = 0
   -4x – 3 y – 9 = 0
   4x + 3y + 9 = 0
   Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (-3, 1) adalah 4x + 3y + 9 = 0
   c. Lingkaran L dengan bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C= 0
   1. Persamaan garis singgung dengan gradient tertentu (m)
      i. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r

Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradient m di tentukan oleh formula

ii. Lingkaran L berpusat di A (a, b) dan berjari-jari r penentuan garis singgung pada lingkaran serupa dengan penentuan garis singgung pada lingkaran dengan gradient tertentu (m).

Dengan mensubtitusikan x menjadi (x – a) dan y menjadi ( y – b) pada persamaan garis singgung di peroleh

1. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran
   Persamaan lingkaran
   1) X2 + y2 = r2
   2) (x – a)2 + (y – b)2 = r2
   3) x2 + y2 + Ax + By + C= 0
   Persamaan garis polar
   1. x1 x + y1 y = r2
   2. (x1 – a) (x – a) + (y1-b) ( y – b) = r2
   3.
2. HUBUNGAN DUA LINGKARAN (PENGAYAAN)

MIsalnya lingkaran L1 dengan pusat P1 dan berjari-jari r1 serta lingkaran L2 dengan pusat P2 dan berjari-jari r2, maka hubungan ke dua lingkaran tersebut depat diuraikan sebagai berikuti. L1 Sepusat dengan L2 = syaratnyaii. L1 dan L2 bersinggungan didalam = syaratnyaiii. L2 didalam L1 = syaratnya

iv. L1 berpotongan dengan L2 = syaratnya

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan jari-jari r = 2+Jawab:

Pusat di 0 (0, 0) dan r = 2+

+3

atau

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan melalui masing-masing titik berikut ini A (2, 4)Jawab:Karena lingkaran x2+y2=r2 melalui titik A (2, 4) maka nilai r2 ditentukan oleh r2 =22 + 42 r2 = 4 + 16r2 = 203. Tentukan tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang memenihi setiap hubungan berikut.a. apa bila A (0, 1) dan B (0, 16)Jawaban:PB = 4PA PB2 =16PA2

(0 – x)2 + (16 – y)2 = 16

4. Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut ini P(-1, 6) danJawaban : P(-1, 6) dan L x2 + y2 = 40(-1)2 + 62 = 3 < 405. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut ini.a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 9b. (x + 4)2 + (y – 5)2 = 24Jawaban:a. Pusat A (-3, 2) dan r = =3b. Pusat B (-4, -5) dan r = =6. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan garis yang menghubungjkan titik A (1, 5) dengan B (9, -1)

Jawaban:

7. Tentukan nilai a agar titiuk P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12Jawaban:P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=122+3=12 2 =12-32 =92 =32

= ±3 jadi a = 3 – 4 = -1 dan

8. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter garis AB dengan A (3, 2) dan B (0, -1)

Persamaan lingkaran

9. Tentukan nilai n agar titik T (3, n) terletak pada lingkaranJawaban:Nilai kuasa titik r (3, n) sama dengan nol, hal ini berarti:Kr = 32 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0= 9 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0= n2 – 13 n + 30 = 0= (n – 10) (n – 3) = 0= n = 10 atau n = 310. Tentukan titik potong garis y=2x dengan lingkaranJawaban:Hasil subsitusi:x2 + 2 x – 15 = 0= (x – 5) (x – 3) = 0= x1 = -5 atau x2 = 3Penemuan nilai yX1 = -5; Y = 2 (-5) = -10X2 = 3; Y = 2 (3) = 6

Jadi titik potong dengan lingkaran adalah ( -5, -10) dan (3, 6)

11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung B (12, -5)Jawaban:

Persamaan garis singgung

12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B (0, 9)Jawaban:

Persamaan garis singgung

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B ( 0, 9) adalah

13. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (2, 1)Jawaban:

Titik singgung A (2, 1) berarti x1 = 2 dan y1 =1 persamaan garis singgung